非线性系统【五】|线性时变系统和线性化，逆定理

由线性时变系统$\dot{x}(t)=A(t)x(t)$，使用状态转移矩阵进行描述，有
$$x(t)=\Phi (t,t_0)x(t_0)$$

定理4.11

当且仅当对于正常数$k$和$\lambda$，状态转移矩阵满足不等式
$$||\Phi (t,t_0)||\le k{e}^{-\lambda (t-t_0)},\forall t\ge t_0\ge 0$$
时，系统的平衡点$x=0$是（全局）一致渐近稳定的。

定理4.12

设$x=0$是系统的指数稳定平衡点。假设$A(t)$连续且有界，设$Q(t)$是连续且有界的正定对称矩阵，那么存在一个连续可微的正定对称矩阵$P(t)$满足方程
$$-\dot{P}(t)=P(t)A(t)+A^T(t)P(t)+Q(t)$$
因此，$V(t,x)=x^{T}P(t)x$是系统的李雅普诺夫函数，满足定理4.10的条件。

定理4.13

设$x=0$是非线性系统
$$\dot{x}=f(t,x)$$
的一个平衡点，其中$f:[0,\infty )\times D\to R^n$连续可微， D = { x ∈ R n ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 < r } D={x in R^n | quad ||x||_2 < r } D={x∈Rn∣∣∣x∣∣2​<r}，雅可比矩阵$[\partial f/\partial x]$有界，且在$D$上是利普希兹的，对$t$一致。设
$$A(t)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,x){|}_{x=0}$$
如果原点是线性系统$\dot{x}=A(t)x$的指数稳定平衡点，则它对非线性系统也是指数稳定平衡点。

定理4.14

设$x=0$是非线性系统$\dot{x}=f(t,x)$的平衡点，其中$f:[0,\infty )\times D\to R^n$连续可微， D = { x ∈ R n ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 < r } D={x in R^n | quad ||x||_2 < r } D={x∈Rn∣∣∣x∣∣2​<r}，雅可比矩阵$[\partial f/\partial x]$有界，且在$D$上是利普希兹的，对$t$一致。设$k,\lambda$和$r_0$为正常数，$r_0<r/k$, D 0 = { x ∈ R n ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ < r 0 } D_0 = { x in R^n | ||x|| < r_0 } D0​={x∈Rn∣∣∣x∣∣<r0​}。假设系统的轨线满足
$$||x(t)||\le k||x(t_0)||e^{-\lambda (t-t_0)},\forall x(t_0)\in D_0,\forall t\ge t_0\ge 0$$
于是，存在一个连续可微函数$V:[0,\infty )\times D_0\to R$满足不等式
$$c_1||x|{|}^2\le V(t,x)\le c_2||x|{|}^2$$
$$\frac{\partial V}{\partial t}+\frac{\partial V}{\partial x}f(t,x)\le -c_3||x|{|}^2$$
$$||\frac{\partial V}{\partial x}||\le c_4||x||$$
其中$c_1$,$c_2$,$c_3$,$c_4$是正常数。此外如果$r=\infty$和原点是全局指数稳定的，那么$V(t,x)$在$R^n$上有定义，且满足就上述不等式。进一步，如果系统是自治的，则可选择$V$与$t$无关。

定理4.15

设$x=0$是非线性系统$\dot{x}=f(t,x)$的平衡点，其中$f:[0,\infty )\times D\to R^n$连续可微， D = { x ∈ R n ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ 2 < r } D={x in R^n | quad ||x||_2 < r } D={x∈Rn∣∣∣x∣∣2​<r}，雅可比矩阵$[\partial f/\partial x]$有界，且在$D$上是利普希兹的，对$t$一致。设
$$A(t)=\frac{\partial f}{\partial x}(t,x){|}_{x=0}$$
那么，当且仅当$x=0$是线性系统$\dot{x}=A(t)x$的指数稳定平衡点时，它也是非线性系统的指数稳定平衡点。