聊一聊数学中的基本定理（四）——微积分基本定理

今天我们再进入下一个领域——以极限为基础的微积分，看看在这个领域，到底什么才是基本定理。

微分和积分的定义

我们知道，微积分的核心运算就是极限，我们用抽象的epson-dirta语言定义了一套可推演的逻辑，同时也能够一定程度上符合人脑对这种无穷趋近时候发生事情的直观想象。微分和积分是两种基本的极限运算形式，微分是变化的无穷小量，由此定义了微分商，也就是导数等；积分则是无穷小量的和，由此得到了函数围成面积的求法等神奇结果。这二者互为逆运算，而我们的微积分基本定理，自然是阐明这二者联系的定理了。

我们不妨先复习一下微分和积分的概念。我敢保证，你若不是刚考完试，也不查资料的话，问你微分是什么，能立马答上来的，都是基础扎实的大牛了。

设函数

在某区间

内有定义。对于

内一点

，当

变动到附近的

（也在此区间内）时，如果函数的增量

可表示为

（其中

是不依赖于

的常数），而

是比

高阶的无穷小，那么称函数

在点

是可微的，且

称作函数在点

相应于自变量增量

的微分，记作

，即

，

是

的线性主部。通常把自变量

的增量

称为自变量的微分，记作

，即

。

所以我们常用的微分符号dx其实是把一个函数附近的变化量写成一个线性变化量和无穷小量和形式时候的那个线性变量符号，对应的变化量称为线性主部。能够这么做的前提称作可微。也即无穷小量存在，也就是dy / dx所对应的这个极限能够存在，也就是就是导数存在了，即可微和可导在一元函数这里，是完全等价的。

再来看积分。积分的定义并不只有一种，在分析领域有黎曼积分，勒贝格积分，达步积分等等，我们这里采用和我们今天要讲内容最相关的黎曼积分，这也是一般的最常用的一个定义，也最直观：对于给定区间，我们把它进行无限地分割，直到每一个子区间的长度都足够小，如果这样的分割过程得到的每个区间长度乘以函数值的和有极限，那么称为函数在对应区间上的积分。

注意了，这里定义的极限过程是一个物理地不断增加分割的过程，并非是像求导那样用epson-dirta语言建立的严格的极限，但其中的极限和收敛的思想是一致的。而这样的收敛结果的物理意义十分明确，就是我们面对曲线边时候完全不知道怎么求面积时候的解决方案，没有比把这个极限定义为曲线包围面积的公式更合适的方式了，它既和物理的真实容积，体积相对应，也满足我们直接地极限想象，简直是客观现象模型与数学理论的完美融合。

依稀记得，当年我们在高中时候已经学过了导数和积分的定义，但是完全无法理解为什么对积分的求解可以化为导数的逆运算——求原函数的差上去，直到大学理解了微积分的思想，这一问题才慢慢想明白。

没错，我们学的那个用原函数求积分的公式，就是今天要讲的微积分基本定理！

哈哈，基本，这真是太基本了！

微积分基本定理的内容

第一基本定理

设

，

为连续函数，对所有的

，定义函数 F 如下：

则 F 在闭区间 [a,b] 连续，并在开区间 (a, b)可微， 且对所有在开区间 (a, b) 中的 x，有

第二基本定理

假设有两函数，

，若满足以下条件：

且F 是闭区间 [a,b] 上的连续函数，

f 是黎曼可积函数，

则有：

常简记为

没错，微积分基本定理一共有两条，我们分别来看。

微积分第一基本定理告诉我们，变上限积分和求导这两个泛函互为反函数。注意这里的积分下限不是变量是常数，而上线就是我们的代表变量x，而随着a参数的不同，其结果应该相差一个常数，有一族函数都满足条件。

其严格的证明需要用到第一积分中值定理，剩下就是微积分的基本定义了，这里我不抄一遍了，因为我觉得对其物理意义的理解更加重要。积分的物理意义就是函数和x轴围城的带符号的面积，而变上限积分把这个面积和x终点之间的函数关系扣下来变成了积分。那么这个函数的导数的物理意义是什么呢，不就是x每增加一个小量，y增加的小量么？那具体到这里的物理意义，不就是x每增加一个面积的横向长度增加的面积量吗？这个我们姑且可以定义为，瞬时面积增加速度呗，等于单位前进长度内面积增加量在某个点的极限，这个极限就是这个矩形的高，自然就是原来函数f(x)的值啊。所以微积分第一基本定理的物理意义就很明确了，一个函数与x围成的有向面积的增长瞬时增长速度等于该点的函数值。

怪不得微积分这玩意还得记物理学家牛顿一大功，毕竟这里最典型乃至核心的应用就是牛顿力学和运动学了。

有了这个，那微积分第二定理就显而易见了。只需要取x = b和a作差，带入后根据微积分的定义就可以求得了。再用中值定理去证明一遍，虽然严谨，但是少了数学的物理意义和直觉以及主干思路清晰简明的美。

那这个微积分第二定理相信你看着有点熟悉，没错，它更有名的名字应该叫做牛顿-莱布尼兹公式，是由他们两人各自独立发现，竞争之后谁也不服谁就被后人共同命名的。毕竟争下这种级别公式的命名权就和获得一个上前面活在人们心中的机会一样，谁都是要撕破脸的，科学家这等聪明人，并不是圣人，只会有过之而无不及。

总结和畅想

其实啊，很多数学定理，尤其是那种最初等根本的定理，看起来就是在说一个很显然的事实，有时候其证明虽然晦涩，用的人也不会去管证明细节。但是直观看上去，其成立要么揭示了一种本质的结构，比如算术基本定理和代数基本定理；要么就是源于我们本身对数学大厦的构建，如微积分基本定理，无论哪种，都是深刻而安全地向我们挖掘着这上帝给我们留下的宝藏，希望我们的一生中间能够多获得一点这样的洗礼，而不至于白走一遭。