安全多方计算(1)：不经意传输协议

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前言

在安全多方计算系列的首篇文章（安全多方计算之前世今生）中，我们提到了百万富翁问题，并提供了百万富翁问题的通俗解法，该通俗解法可按图1简单回顾。

图1 百万富翁问题通俗解法

百万富翁问题通俗解法场景中，我们可以将Alice和Bob的诉求总结如下：

• Alice：有9个装有物品的箱子，Bob只能打开其中一个箱子看到物品，看不到其他箱子内的物品。

• Bob：不希望Alice知道自己打开的是哪个箱子。

百万富翁问题通俗解法可以通过密码学中的n选1的不经意传输协议（Oblivious Transfer，OT）完美解决。

通过百万富翁问题通俗解法场景描述，对OT协议解决的问题可抽象为：Alice拥有(n)条消息({m_1,…,m_n})，Bob想知道其中一条消息(m_i)；通过执行OT协议，Bob可以正确获得想要知道的消息(m_i)，且无法获得其它(n-1)条消息，而Alice无法知道Bob获得的是哪条消息。

OT协议按研究类别区分，可以分为以下3种OT协议：

• 2选1的OT协议（(2)条消息中正确解密（选）(1)条）
• n选1的OT协议（(n)条消息中正确解密（选）(1)条）
• OT扩展协议（(n)条消息中正确解密（选）(m)条，(m<n)）

受篇幅所限，本文仅介绍2选1与n选1的OT协议，OT扩展协议则在后续系列文章中进行介绍。

利用RSA加密实现n选1的OT协议

自1981年提出以来，OT协议有多种多样的实现形式，其中最容易理解的是基于RSA公钥算法实现的n选1的OT协议[1]。

RSA加解密过程简介

此处不讲解RSA原理，只介绍RSA加解密过程和用到的参数，便于密码学知识储备不足的读者理解后面的OT协议。

• RSA密钥参数：(N=p*q)，(L=(p-1)*(q-1))其中(p)和(q)为大素数。

• RSA公私钥对：生成(d)和(e)，满足(d)与(L)互质，(e)与(L)互质，且(d*e(mod L)=1)，则令(（d，N）)为公钥，(e)为私钥。

则RSA算法对明文(m)（(m)为大整数）的加解密过程如图2所示。

图2 RSA算法加解密计算过程

RSA实现n选1的OT协议过程描述

基于RSA公钥算法实现的n选1的OT协议执行过程如图3所示。

图3 基于RSA公钥算法实现n选1的OT协议执行过程

协议执行过程分为4个步骤：

1. Alice有(n)条消息，则产生(n)个RSA公私钥对，并将(n)个私钥保留，(n)个公钥发送给Bob。
2. Bob随机产生一个大整数key，假定Bob想要获得第(t)条消息，则Bob用收到的第(t)个RSA公钥加密大整数key，加密计算结果为(s)，Bob将(s)发送给Alice。
3. Alice用保留的(n)个RSA私钥，依次解密(s)，获得(n)个解密结果，依次为({key1,key2,…,keyt,…,keyn})；利用对称加密算法，利用((key1,...,keyn))，加密对应的消息((m1,...,mn))，得到密文消息((M1,...,Mn))，将((M1,...,Mn))发送给Bob。
4. Bob利用自己掌握的大整数(key)作为密钥，对第(t)条密文(Mt)进行对称解密，则得到想要的第(t)条原始明文消息(mt)。

n选1的OT协议解决百万富翁问题

将图1中的百万富翁问题和图3中的n选1的OT协议结合，我们可以对图1中的操作步骤做如图4的改造：

• Step1：Alice构造9条明文消息，序号(<x)，消息为“0”；否则消息为“1”。

• Step2：Alice与Bob执行9选1的OT协议，解密第7条消息，看到0，(y<x)；看到1，(y≥x)。

图4 基于n选1的OT协议实现百万富翁问题

协议分析

该协议执行过程可以满足OT协议中Alice和Bob的核心诉求，关键在于第2步和第3步。

• 第3步中，Alice利用(n)个私钥逐个尝试解密(s)，得到((key1,...,keyn))，由于(s)是由Bob利用第(t)个公钥加密整数key计算得到的，因此只有keyt=key，但对于Alice来说，((key1,...,keyn))都是大整数，根本无法区分哪个才是Bob掌握的key，实现了Bob的诉求，即Alice无法知道Bob选择的是哪条消息。

• 对于Bob来说，拿到了(n)个密文消息((M1,...,Mn))，但是自己只有一个key，此key只能解密消息(Mt)，对于其他(n-1)条消息则无法解密，实现了Alice的诉求，即Bob只能正确得要Bob想要得到1条消息，无法正确得到其他(n-1)条消息。

如果(n=2)，则该n选1的OT协议就退化成了2选1的OT协议。

虽然基于RSA实现的n选1的OT协议简单易懂，但是却存在如下缺陷：

• key为0或1时，Alice的诉求无法保证。Bob如果将key指定为0或1，则根据图2中RSA的加解密计算方法，无论私钥(e)是否正确，解密后的(m0=m)均成立，意味着第3步中，Alice强行解密(s)得到的((key1,...,keyn))均等于key（看加密就懂了～），则Bob可以解密所有的消息，获得所有的明文((m1,...,mn))。
• 协议计算效率有待优化。第1步Alice需要产生(n)个RSA公私钥对，而RSA公私钥对的产生比较耗时。

为了提高安全性和计算效率，还有基于其他密码学方法的OT协议，如基于离散对数的OT协议，将在本文第四节和第五节中进行介绍。（如果您仅希望简单了解OT协议的原理和能解决的问题，则读到此处足矣，本文后面的内容适合有一定密码学基础读者。）

基于离散对数实现2选1的OT协议

为了优化OT协议计算效率和安全性，学者一般对2选1的OT协议和n选1的OT协议分开进行研究。对于2选1的OT协议，Tung Chou[2]于2015年基于离散对数问题，在DH密钥协商协议的基础上设计的2选1的OT协议，被认为是一个简单清晰的2选1的OT协议。

离散对数简介

离散对数问题通俗理解：有限域(F_p)（(p)为大素数，(F_p)中元素共(p-1)个整数，取值([1,p-1])）上的大整数幂乘取模容易计算，即(a*b mod p=c，a,bin F_p)，而计算对数是很困难的，即 (log_a^c(mod p)=b)。

离散对数实现2选1的OT协议过程描述

基于离散对数实现2选1的OT协议执行过程如图5所示：

图5 离散对数实现2选1的OT协议执行过程

协议执行过程分为4个步骤：

• Alice有消息(m0、m1in F_p)*，则Alice挑选(g,ain F_p)，并计算(A=g^a mod p)，将(A、g、p)发送给Bob。
• Bob想要第(sigma)条消息（(sigma=0)或1），Bob挑选(bin F_p)*，并计算(B=A^sigma *g^b mod p)，将B发送给Alice。
• Alice利用(a、A、B)，按照图4中的步骤3计算(C0)和(C1)的值，然后用(C0)为密钥，对称加密(m0)；用(C1)为密钥，对称加密(m1)。将加密后的密文(M0)和(M1)传递给Bob。
  • 这里的密文(M_0)和(M_1)只有一个是“可用”的，也就是说(C_0)和(C_1)只有一个是可用的，当(sigma =0)时，(C_0)是可用的；当(sigma =1)时，(C_1)是可用的。
• Bob利用(A)和(b)计算解密密钥(g^{ab} mod p)，对称解密对应的密文后拿到想要的正确消息。

协议分析

该协议的核心步骤是步骤2和步骤3，对这两步中的参数B、C0、C1进行展开，展开后如图6所示。

图6 2选1的OT协议部分参数展开

从图6的展开式可知，无论(sigma =0)还是(sigma =1)，(C0)和(C1)始终只有一个为(g^{ab})，而另一个对于Bob而言则不可计算（Bob不知道(a)的值），(g^{ab})的计算实质上就是DH密钥协商协议。

对于Alice来说，仅知道(B、A、g)，不知道(b)的情况下，由于离散对数问题难解，因此是无法推断出(sigma =0)还是(sigma =1)。

与2.2的协议相比，该协议不存在Bob选择特殊的(b)会导致密文消息(M0)和(M1)同时正确解密这一缺陷（只能正确解密其中一个）。

基于离散对数实现n选1的OT协议

本章节将以Wen-Guey Tzeng[3]提出的高效n选1的OT协议为例，讲解如何基于离散对数实现基本的n选1的OT协议。

离散对数实现n选1的OT协议过程描述

基于离散对数实现n选1的OT协议执行过程如图7所示。

图7 离散对数实现n选1的OT协议执行过程

协议执行过程分为4个步骤：

• Alice有(n)条消息({m1,…,mn})，(miin G)((G)代表素数域(F_p^*))，挑选(G)的两个生成元(g)和(h)，将(g,h,p)发送给Bob。
• 假定Bob想获得第(t)条消息，则Bob随机选择大整数(rin G)，并计算(y=g^r*h^tmod p)，将(y)发送给Alice。
• Alice利用(y,g,h)，分别对(n)条消息，重复执行图6中左下角的计算步骤，每一次执行都会随机选择大整数(k_iin G)，并结合消息(mi)计算(ai)和(bi)。然后将(n)组((ai,bi))发送给Bob。
• Bob拿到(n)组((ai,bi))后，利用掌握的大整数(r)，计算想要的第(t)条消息(m_t=b_t∕(a_t)^r)。

协议分析

对于第4步Bob的操作，我们把消息(m_t)泛指为(m_x)，则对(m_x)的计算公式展开后如图8所示。

图8 消息mx的计算公式展开

从图8可以看出，要想获得消息(m_x)，要么令(x=t)，此时消息为Bob想要获得的消息；要么计算出(h^{(t-x)*k_x})，由于(k_x)是Alice的秘密数字，因此保证了Bob不可能正确解密除消息(m_t)之外的其余(n-1)条消息。

对于Alice来说，虽然知道(y,g,h)，但是不知道(r)的情况下，由于离散对数问题难解，因此是无法推断出(t)的正确值。

与2.2的协议相比，该协议不存在Bob选择特殊的(r)会导致(n)条消息同时正确解密这一缺陷，同时也不存在需要产生(n)对公私钥这一耗时操作。

总结

本文介绍了OT协议和3个基于密码学实现的OT协议实例，并结合百万富翁问题的通俗解法看到了OT协议的应用实例，这样的实例很难看出OT协议的重要性。

其实OT协议是安全多方计算中很重要的一个协议，在安全多方计算系列的首篇文章（安全多方计算之前世今生）中，我们提到，安全多方计算的通用技术路线可以用混淆电路解决，而混淆电路的构建离不开OT协议。因此，下期文章将会讲解如何通过OT协议实现混淆电路，以及如何实现基于混淆电路的通用安全多方计算路线。

参考文献

[1] https://en.wikipedia.org/wiki/Oblivious_transfer

[2] Chou T , Orlandi C . The Simplest Protocol forOblivious Transfer[C]// International Conference on Cryptology and InformationSecurity in Latin America. Springer International Publishing, 2015.

[3] Tzeng W G . Efficient 1-out-of-noblivious transfer schemes with universally usable parameters[J]. IEEETransactions on Computers, 2004, 53(2):p.232-240.