[概率论与数理统计]笔记：2.5 随机变量函数的分布

2.5 随机变量函数的分布

随机变量函数

对于一个随机变量(X)，其取值是不确定的，如果存在一个函数(g(x))，使得随机变量(X,Y)满足：

则称随机变量(Y)是随机变量(X)的函数。

(X)的统计规律决定了(Y)的统计规律.

离散型随机变量函数的分布

离散型随机变量(X)的函数(Y=g(X))显然还是离散型随机变量。

(Y)的概率分布完全由(X)的概率分布所确定。

连续型随机变量函数的分布

设随机变量(X)的密度函数为(f_X(x))，分布函数为(F_X(x))。

用函数(g(x))构造随机变量(Y=g(X))，记(Y)的密度函数为(f_Y(x))，分布函数为(F_Y(x))。

求解(Y)的密度函数的过程可以为：

1. 使用(F_X(x))表示(F_Y(x)).
2. 两边求导，得到用(f_X(x))表示的(f_Y(x)).

均匀分布

均匀分布线性替换后仍是均匀分布。

例题：

已知(X)的密度函数为(f_X(x))，(Y=3X+2)，求(Y)的密度函数.

• (F_X(x)=P{Xle x})
• (F_Y(x)=P{Yle x})

解：

(F_Y(x)=P{Yle x}=P{3X+2le x}=P{Xle frac{x-2}{3}}=F_X(frac{x-2}{3}))

(F_Y(x)=F_X(frac{x-2}{3}))两边求导，得：

特别地，如果(X)服从区间([0,4])上的均匀分布，且

则有

事实上，若(X)服从([a,b])上的均匀分布，(Y=kX+C(k e0))，则服从相应区间上的均匀分布。

• 当(k>0)时，相应区间为([ka+C,kb+C])
• 当(k<0)时，相应区间为([kb+C,ka+C])

正态分布

线性

设(Xsim N(mu,sigma^2))，(Y=aX+b(a e0))。

当(a>0)时，(F_Y(x)=P{Yle x}=P{aX+ble x}=P{Xlefrac{x-b}{a}}=varPhi(frac{x-b}{a}))

两边都求导，得

再结合(varphi(x)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}})，两者对比，可得(Ysim N(amu+b,a^2sigma^2)).

当(a<0)时，过程类似，主要在于不等号的转换。

标准化

当(Y=frac{X-mu}{sigma})时，(Ysim N(0,1))。其实就是一个标准化的过程。

结论：服从正态分布的随机变量经过线性变换后仍然是服从正态分布的。

定理1 (X)的密度函数为(f_X(x))，(Y=kX+b(k e0))，则(f_Y(x)=frac{1}{|k|}f_X(frac{x-b}{k})).

非线性

• 若(Xsim N(0,1),Y=X^2)，则(Y)服从自由度为1的卡方分布，记作(Ysim chi^2(1)).

• 若(Y=ln X)服从正态分布(N(mu,sigma^2))，则称随机变量(X)服从参数(mu,sigma^2)的对数正态分布，记作(ln Xsim N(mu,sigma^2))。

使用教材：
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社