第三章 随机向量

3.1 随机向量的分布

随机向量及其分布函数

概念

• (X_1,X_2,cdots,X_n)是(n)个随机向量，则((X_1,X_2,cdots,X_n))是一个(n)维随机向量。
• (n)元函数(F(x_1,x_2,cdots,x_n)=P{X_1le x_1,X_2le x_2,cdots,X_nle x_n})为随机向量((X_1,X_2,cdots,X_n))的分布函数。其中({X_1le x_1,X_2le x_2,cdots,X_nle x_n})表示({X_1le x_1},{X_2le x_2},cdots,{X_nle x_n})的交事件。

一般不会讨论高维的向量，教材上大多是二维向量。

概率表示

性质

• (0le F(x,y)le1).

• (F(x,y))关于(x,y)均单调、非降、右连续.

• 极限值：

  • (F(-infty,y)=limlimits_{x o-infty}F(x,y)=0)
  • (F(x,-infty)=limlimits_{y o-infty}F(x,y)=0)
  • (F(-infty,-infty)=limlimits_{(x,y) o(-infty,-infty)}F(x,y)=0)
  • (F(+infty,+infty)=limlimits_{(x,y) o(+infty,+infty)}F(x,y)=1)

• (一维)边缘分布函数

  • (F_X(x)=P{Xle x}=P{Xle x,Y<+infty}=F(x,+infty))

  • (F_Y(y)=P{Yle y}=F(+infty,y))

  • 一般地，对于(n)维随机向量的分布函数的边缘分布函数为：

    [F_i(x_i)=F(+infty,cdots,+infty,x_i,+infty,cdots,+infty),quad i=1,2,cdots,n ]

离散型随机向量的概率分布

定义

如果二维随机向量((X,Y))只取有限个或可列个值，则称((X,Y))为二维离散型随机向量。

其概率分布为：

也叫做(X)和(Y)的联合概率分布。

性质

• (p_{ij}ge0,quad i,j=1,2,cdots;)
• (sumlimits_isumlimits_jp_{ij}=1).

概念

联合概率分布表：以二维表格形式表示二维离散型随机向量的概率分布。

边缘概率分布：联合概率分布的某一行或某一列的和。

连续型随机向量的概率密度函数

定义

二维随机向量((X,Y))的分布函数为(F(x,y))，如果存在一个非负可积的二元函数(f(x,y))，使得对任意实向量((x,y))，有

则称((X,Y))为二维连续型随机向量，并称(f(x,y))为((X,Y))的概率密度函数，或(X)和(Y)的联合密度函数。

性质

• (f(x,y)ge0)

• (int_{-infty}^{+infty}int_{-infty}^{+infty}f(x,y)mathrm{d}xmathrm{d}y=1)

• 若(D)是平面上的一个区域，则(P{(X,Y)in D}=iintlimits_Df(x,y)mathrm{d}xmathrm{d}y)

• 边缘分布函数

  [egin{align*} F_X(x) &= P{Xle x}=P{Xle x,Yle+infty}\ &= int_{-infty}^xint_{-infty}^{+infty}f(s,t)mathrm{d}smathrm{d}t \ &= int_{-infty}^x left[ int_{-infty}^{+infty}f(s,t)mathrm{d}t ight] mathrm{d}s. end{align*} ]

• 边缘密度函数

  [f_X(x)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)mathrm{d}y \ f_Y(y)=int_{-infty}^{+infty}f(x,y)mathrm{d}x \ ]

均匀分布

如果一个二维随机向量((X,Y))以

为密度函数，则称((X,Y))服从区域(G)上的均匀分布。

图像

平面区域上的均匀分布实质就是平面区域上的几何概型。

二元正态分布

定义

设随机向量((X,Y))的密度函数为

其中(mu_1,mu_2,sigma_1^2,sigma_2^2, ho)均为参数，且(sigma_1>0,sigma_2>0,| ho|<1)，则称((X,Y))服从参数为((mu_1,mu_2;sigma_1^2,sigma_2^2; ho))的二元正态分布，记作((X,Y)sim N(mu_1,mu_2;sigma_1^2,sigma_2^2; ho)).

性质

• 二元正态分布以((mu_1,mu_2))为中心，中心附近具有较高密度，离中心越远，密度越小。

• 边缘密度函数

  • (varphi_X(x)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma_1}e^{-frac{(x-mu_1)^2}{2sigma_1^2}})
  • (varphi_Y(y)=frac{1}{sqrt{2pi}sigma_2}e^{-frac{(x-mu_2)^2}{2sigma_2^2}})
  • (Xsim N(mu_1,sigma_1^2), Ysim N(mu_2,sigma_2^2))

• 参数( ho)是随机变量(X,Y)的相关系数，( ho=0)表示(X,Y)相互独立，此时对于任何((x,y))，有

  [varphi(x,y)=varphi_X(x)varphi_Y(y) ]

注：

1. 二元正态分布的边缘分布只有前4个参数确定，因此对于只有参数( ho)不同的二元正态分布，它们的边缘分布是一致的。
2. 只有(X)和(Y)的边缘分布不能唯一确定二元正态分布，还需要明确的参数( ho).
3. 两个边缘分布为正态分布的二位随机向量不一定服从二元正态分布。

使用教材：
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社