题目：
已知函数 (f(x)=frac{e}{2x}+ln{x}) 上存在不同的三点 ((x1,f(x1)),(x2,f(x2)),(x3,f(x3)),) 且曲线 (y=f(x)) 经过这三点的切线都经过点 ((a,b).)
（Ⅰ） 求 (f(x)) 的单调区间
（Ⅱ）（i） 若 (a>e,) 证明： (0<b−f(a)<frac{1}{2}(frac{a}{e}−1))
（ii） 若 (0<a<e,) 且满足 (x_1<x_2<x_3,) 证明 ：
(frac{2}{e}+frac{e−a}{6e^2}<frac{1}{x_1}+frac{1}{x_3}<frac{2}{a}−frac{e−a}{6e^2})
解：
（Ⅰ）：
由题意得，对 (f(x)) 求导得到：
[f^prime(x)=frac{2x-e}{2x^2}
]
所以 (f(x)) 在 ((0,frac{e}{2})) 内单调递减，在 ((frac{e}{2},+infty)) 内单调递增。
（Ⅱ）：
（i）：
由题意得：
过 ((x_i,f(x_i)),i=1,2,3) 的切线
[f(x)=f^prime(x)(x-a)+b
]
即
[frac{e}{2x}+ln{x}=frac{2x-e}{2x^2}(x-a)+b
]
令
[g(x)=frac{2x-e}{2x^2}(x-a)-frac{e}{2x}-ln{x}+b
]
由题意得，当 (g(x)=0) 时存在三个不同的根。
对 (g(x)) 求导得到：
[g^prime(x)=-frac{x^2-(a+e)x+ae}{x^3}=-frac{(x-a)(x-e)}{x^3}
]
所以 (g(x)) 在 ((0,e)) 内单调递减，在 ((e,a)) 内单调递增，在 ((a,+infty)) 内单调递减。
不难发现
[limlimits_{x
ightarrow0}{g(x)}=+infty,limlimits_{x
ightarrow infty}{g(x)}=-infty
]
所以
[g(e)=-frac{a}{2e}-1+b<0,g(a)=-frac{e}{2a}-ln{a}+b>0
]
由（Ⅰ）得 (f(x)) 在 ((frac{e}{2},+infty)) 内单调递增，故 (f(a)>f(e)) 。
所以
[0=frac{e}{2a}+ln{a}-f(a)<b-f(a)<frac{a}{2e}+1-f(e)=frac{1}{2}(frac{a}{e}−1)
]
（ii）：
由题意得 (:0<a<e,) 与（i）同理，可知 (0<x_1<a<x_2<e<x_3) 。
令 (t_i=frac{1}{x_i},i=1,2,3,) 那么要证
[frac{2}{e}+frac{e−a}{6e^2}<frac{1}{x_1}+frac{1}{x_3}<frac{2}{a}−frac{e−a}{6e^2}
]
即证
[frac{2}{e}+frac{e−a}{6e^2}<t_1+t_3<frac{2}{a}−frac{e−a}{6e^2}
]
即证
[[(t_1+t_3)-(frac{2}{e}+frac{e−a}{6e^2})] imes[(t_1+t_3)-(frac{2}{a}−frac{e−a}{6e^2})]<0
]
即证
[(t_1+t_3)^2-(frac{2}{e}+frac{2}{a})(t_1+t_3)+(frac{2}{e}+frac{e−a}{6e^2}) imes(frac{2}{a}−frac{e−a}{6e^2})<0
]
由题意得 (,x_1,x_3) 为方程 (g(x)=frac{2x-e}{2x^2}(x-a)-frac{e}{2x}-ln{x}+b=0) 的两根，所以
[frac{2x_1-e}{2x_1^2}(x_1-a)-frac{e}{2x_1}-ln{x_1}+b=0\
frac{2x_3-e}{2x_3^2}(x_3-a)-frac{e}{2x_3}-ln{x_3}+b=0
]
两式相减，整理得到：
[frac{ae}{2}(frac{1}{x_1^2}-frac{1}{x_3^2})-(a+e)(frac{1}{x_1}-frac{1}{x_3})-(ln{x_1}-ln{x_3})=0
]
即
[frac{ae}{2}(t_1^2-t_3^2)-(a+e)(t_1-t_3)+(ln{t_1}-ln{t_3})=0
]
两边同乘 (frac{2(t_1+t_3)}{ae(t_1-t_3)}) 得到
[(t_1+t_3)^2-(frac{2}{e}+frac{2}{a})(t_1+t_3)+frac{2}{ae} imesfrac{(ln{t_1}-ln{t_3})(t_1+t_3)}{(t_1-t_3)}=0
]
所以要证
[(t_1+t_3)^2-(frac{2}{e}+frac{2}{a})(t_1+t_3)+(frac{2}{e}+frac{e−a}{6e^2}) imes(frac{2}{a}−frac{e−a}{6e^2})<0
]
即证
[(frac{2}{e}+frac{e−a}{6e^2}) imes(frac{2}{a}−frac{e−a}{6e^2})<frac{2}{ae} imesfrac{(ln{t_1}-ln{t_3})(t_1+t_3)}{(t_1-t_3)}
]
即证
[(frac{2}{e}+frac{e−a}{6e^2}) imes(frac{2}{a}−frac{e−a}{6e^2})<frac{2}{ae} imesfrac{ln{frac{t_1}{t_3}}(frac{t_1}{t_3}+1)}{(frac{t_1}{t_3}-1)}
]
令
[h(x)=frac{ln{x}(x+1)}{(x-1)},x>1
]
对 (h(x)) 求导得到：
[h^prime(x)=frac{-2ln{x}+frac{x^2-1}{x}}{(x-1)^2}
]
令
[F(x)=frac{x^2-1}{x}-2ln{x},x>1
]
对 (F(x)) 求导得到：
[F^prime(x)=frac{(x-1)^2}{x^2}>0
]
所以 (F(x)) 在 ((1,+infty)) 内单调递增。
所以 (F(x)>F(1)=0,h(x)) 在 ((1,+infty)) 内单调递增。
因为 (frac{t_1}{t_3}=frac{x_3}{x_1}>frac{e}{a}>1,) 所以 (h(frac{t_1}{t_3})>h(frac{e}{a})) 。
所以即证
[(frac{2}{e}+frac{e−a}{6e^2}) imes(frac{2}{a}−frac{e−a}{6e^2})<frac{2}{ae} imesfrac{ln{frac{e}{a}}(frac{e}{a}+1)}{(frac{e}{a}-1)}
]
令 (k=frac{e}{a},kin(0,1),) 即证
[frac{k}{2}(2+frac{1-k}{6})(frac{2}{k}-frac{1-k}{6})<frac{ln{k}(k+1)}{k-1}
]
即证
[ln{k}<frac{(k-1)(13-k)(k^2-k+12)}{72(k+1)}
]
令
[G(x)=ln{x}-frac{(x-1)(13-x)(x^2-x+12)}{72(x+1)},0<x<1
]
对 (G(x)) 求导得到：
[G^prime(x)=frac{3x^5-26x^4-6x^3+150x^2-193x+72}{72x(x+1)^2}=frac{(x-1)^2(3x^3-20x^2-49x+72)}{72x(x+1)^2}
]
令
[H(x)=3x^3-20x^2-49x+72,0<x<1
]
对 (H(x)) 求导得到：
[H^prime(x)=9x^2-40x-49=(x+1)(9x-49)<0
]
所以 (H(x)) 在 ((0,1)) 内单调递减。
所以 (H(x)>H(1)=6>0,G(x)) 在 ((0,1)) 内单调递增。
所以 (G(x)<G(1)=0,) 即
[ln{x}<frac{(x-1)(13-x)(x^2-x+12)}{72(x+1)}
]
证毕！
