Leetcode No.120 三角形最小路径和（动态规划）

一、题目描述

给定一个三角形 triangle ，找出自顶向下的最小路径和。

每一步只能移动到下一行中相邻的结点上。相邻的结点 在这里指的是 下标 与 上一层结点下标 相同或者等于 上一层结点下标 + 1 的两个结点。也就是说，如果正位于当前行的下标 i ，那么下一步可以移动到下一行的下标 i 或 i + 1 。

示例 1：

输入：triangle = [[2],[3,4],[6,5,7],[4,1,8,3]] 输出：11 解释：如下面简图所示： 2 3 4 6 5 7 4 1 8 3 自顶向下的最小路径和为 11（即，2 + 3 + 5 + 1 = 11）。

示例 2：

输入：triangle = [[-10]] 输出：-10

提示：

1 <= triangle.length <= 200 triangle[0].length == 1 triangle[i].length == triangle[i - 1].length + 1 -10^4 <= triangle[i][j] <= 10^4

二、解题思路

本题是一道非常经典且历史悠久的动态规划题，其作为算法题出现，最早可以追溯到 1994 年的 IOI（国际信息学奥林匹克竞赛）的 The Triangle。时光飞逝，经过 20 多年的沉淀，往日的国际竞赛题如今已经变成了动态规划的入门必做题，不断督促着我们学习和巩固算法。

在本题中，给定的三角形的行数为 n，并且第 i行（从 0 开始编号）包含了 i+1个数。如果将每一行的左端对齐，那么会形成一个等腰直角三角形，如下所示： [2] [3,4] [6,5,7] [4,1,8,3]

我们用 f[i][j] 表示从三角形顶部走到位置(i,j) 的最小路径和。这里的位置 (i, j)指的是三角形中第 i 行第 j 列（均从 0 开始编号）的位置。

由于每一步只能移动到下一行「相邻的节点」上，因此要想走到位置 (i, j)，上一步就只能在位置(i−1,j−1) 或者位置(i−1,j)。我们在这两个位置中选择一个路径和较小的来进行转移，状态转移方程为： f[i][j]=min(f[i−1][j−1],f[i−1][j])+c[i][j]

其中 c[i][j]表示位置 (i, j)对应的元素值。

注意第 i 行有 i+1 个元素，它们对应的 jj 的范围为 [0, i]。当 j=0或 j=i时，上述状态转移方程中有一些项是没有意义的。例如当 j=0时，f[i-1][j-1]f[i−1][j−1] 没有意义，因此状态转移方程为： f[i][0]=f[i−1][0]+c[i][0]

即当我们在第 ii 行的最左侧时，我们只能从第 i-1i−1 行的最左侧移动过来。当 j=ij=i 时，f[i-1][j]f[i−1][j] 没有意义，因此状态转移方程为： f[i][i]=f[i−1][i−1]+c[i][i]

即当我们在第 i 行的最右侧时，我们只能从第 i-1 行的最右侧移动过来。

最终的答案即为 f[n-1][0]到 f[n-1][n-1] 中的最小值，其中 n 是三角形的行数。

细节

状态转移方程的边界条件是什么？由于我们已经去除了所有「没有意义」的状态，因此边界条件可以定为： f[0][0]=c[0][0]

即在三角形的顶部时，最小路径和就等于对应位置的元素值。这样一来，我们从 1 开始递增地枚举 i，并在 [0, i] 的范围内递增地枚举 j，就可以完成所有状态的计算。

三、代码

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

public class Solution {
    public int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        int n=triangle.size();
        int[][] dp=new int[n][n];
        dp[0][0]=triangle.get(0).get(0);
        for(int i=1;i<n;i++){
            dp[i][0]=dp[i-1][0]+triangle.get(i).get(0);
            for(int j=1;j<i;j++){
                dp[i][j]=Integer.min(dp[i-1][j-1],dp[i-1][j])+triangle.get(i).get(j);
            }
            dp[i][i]=dp[i-1][i-1]+triangle.get(i).get(i);
        }
        int rs=Integer.MAX_VALUE;
        for(int i=0;i<n;i++){
            rs=Integer.min(rs,dp[n-1][i]);
        }
        return rs;
    }
    public static void main(String[] args) {
        Solution2 solution=new Solution2();
        List<List<Integer>> triangle=new ArrayList<>();
        List<Integer> list=new ArrayList<>();
        list.add(2);
        List<Integer> list2=new ArrayList<>();
        list2.add(3);
        list2.add(4);
        List<Integer> list3=new ArrayList<>();
        list3.add(6);
        list3.add(5);
        list3.add(7);
        List<Integer> list4=new ArrayList<>();
        list4.add(4);
        list4.add(1);
        list4.add(8);
        list4.add(3);
        triangle.add(list);
        triangle.add(list2);
        triangle.add(list3);
        triangle.add(list4);
        System.out.println(solution.minimumTotal(triangle));
    }
}

四、复杂度分析

时间复杂度：O(n^2)，其中 n 是三角形的行数。

空间复杂度：O(n^2)。我们需要一个n∗n 的二维数组存放所有的状态。